EKSPEKTASI MATEMATIKA

Posted: Maret 17, 2011 in MATEMATIKA
Tag:, , ,

Ning Setyaningsih, Budi Murtisaya (Pengantar Statistika Matematika

EKSPEKTASI MATEMATIKA

PENGERTIAN

Ekspektasi matematika atau harga harapan atau mean(rata- rata) atau sering disebut ekspektasi saja, adalah satu konsep penting dalam teori dasar statistika. Jika X adalah sembarang variabel radon, maka ekspektasi matematika dari variabel radom X biasanya dinotasikan dengan E(X) atau µ. Dalam buku ini  nanti kedua notasi tersebut akan digunakan ssecara bergantian, sesuai kebutuhan.

Definisi:

Jika X adalah variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas f(x), maka

ekspektasi atau harga harapan atau rata- rata dari X, adalah:

E(X) =

Analogi, untuk X variabel random kontinu dengan fungsi densitas f(x), maka

ekspektasi dari X adalah:

E(X) =

Harga harapan atau mean X ini sering juga disebut dengan berat tertimbang  (weihgted average) dari nilai- nilai yang mungkin dari X.

Contoh:

Suatu mata uang dilempar tiga kali. X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya gambar yang muncul. Carilah E(X)  !

Penyelesaian :

X(S) = {(0,1,2,3)}, dan distribusi probabilitas dari X adalah :

X 0 1 2 3
f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Contoh :

Andaikan variable random X mempunyai fungsi densitas:

Carilah ekspektasi dari variabel random X ini !

Penyelesaian:

Harga harapan atau mean X ini juga sering disebut dengan berat tertimbang (weighted average) dari nilai-nilai yang mungkin dari X.

Ekspektasi Fungsi Variabel Random

Andaikan diketahui variabel random X dengan fungsi probabilitas (densitas)nya f(x). Kemudian jika ingin menghitung ekspektasi Y yang merupakan fungsi variabel random X bagaimanakah caranya?. Salah satu cara yang sederhana adalah dengan jalan mencari terlebih dahulu fungsi probabilitas (fungsi densitas) dari variabel random Y tersebut. Hal ini bisa dijelaskan lebih lanjut sebagai berikut: Andaikan Y = g(X), maka jelas bahwa Y = g(X) ini adalah juga variabel random yang tentunya bisa dicari fungsi probabilitas (fungsi densitasnya). Sebagaimana telah diketahui, fungsi densitas dari Y ini bisa dicari dari fungsi densitas dari variabel random X. Selanjutnya setelah menemukan fungsi probabilitas Y = g(X) ini maka bisa menghitung ekspektasi dari Y, yaitu E(Y) = E[g(X)] ini dengan menggunakan definisi ekspektasi yang ada.

Contoh :

Andaikan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya gambar yang muncul pada pelemparan tiga mata uang. Carilah E(2X + 4) !

Penyelesaian:

X(S) = {0, 1, 2, 3} dan distribusi probabilitas dari X adalah:

x 0 1 2 3
f(x)        

Sekarang, andaikan Y = 2X + 4, maka nilai-nilai y adalah:

x 0 1 2 3
y 4 6 8 10

Dengan demikian fungsi probabilitas dari Y = 2X + 4, katakanlah g(y) adalah:

y 0 1 2 3
g(y)        

Contoh

Andaikan X adalah variabel random yang mempunyai fungsi densitas:

Carilah E(ex) !

Penyelesaian:

Misalkan Y = ex. Dicari dulu fungsi distribusi dari variabel random Y, yaitu:

Sehingga untuk 0 < x < 1,

Karenanya fungsi densitas dari Y adalah:

Cara di atas, walaupun selalu bisa kita lakukan, sebenarnya kurang praktis dan kurang efisien, sebab harus selalau mencari terlebih dahulu fungsi probabilitas (densitas) dari Y = g(X). Teorema berikut ini akan membantu memudahkan kita untuk menghitung ekspektasi dari fungsi variabel random.

 
 

Teorema 5.1:

Jika X adalah variabel random distrikengan fungsi probabilitas f(x), maka ekspektasi atau harga harapan dari variabel random g(X) adalah

Analog, untuk kasus X variabel random kontinu dengan fungsi densitas f(x), maka ekspektasi dari g(X) adalah:

Untuk membuktikan teorema 5.1 tersebut, digunakan bantuan lemma berikut ini.

Bukti:

Karena

Analogi,

Dari (*) dan (**) di dapat:

Denganbantuan lemma tesebut, teorema 5.1 bisadibuktikansebagaiberikut:

Dengan teorema 5.1 ini, kita bisa langsung menghitung ekspektasi dari fungsi variabel random tana perlu mencari fungsi probilitas (densitas) terlebih dahulu.

Contoh :

Andaikan X adalah fungsi variabel random dengan fungsi densitas:

Hitunglah:

(a) E (X)          (b) E (4X – 2)           (c) E[(X-2)2]

Penyelesaian:

(a)

(b)

(c)

Contoh :

Variabel random distrik X mempunyai fungsi probabilitas

Untuk x = 1, 2, 3

Hitunglah: (a) E (X)                   (b) E (3X2 + 2)

Penyelesaian:

Distribusi probabilitas dari  X  adalah:

x 1 2 3
f(x)      

(a)

(b)

Teorema berikut ini juga sering digunakan untuk membantu memudahkan perhitungan mencari ekspektasi dari fungsi variabel random, jika E (X) diketahui:

Teorema 5.2Jika a dan b konstan, maka : E (aX + b) = a E(X) + b

Bukti:

Dengan bantuan teorema 5.1 untuk kasus kontinu:

Dengan cara yang sama, bisa dibuktikan untuk kasus diskrit.

Contoh :

Dari contoh sebelumnya, telah diketahui bahwa E(X) =

Hitunglah:

(a) E(4X – 2)               (b) E(7X + 4)

Penyelesaian:

(a)

(b)

Dari teorema 5.2, dapat disimpulkan untuk beberapa kasus nilai a dan b yaitu:

  • Bila b = 0, maka E(aX) = a E(X), untuk sembarang konstan a
  • Bila a = 0, maka E(b) = b, untuk sembarang konstan b. Ini berarti bahwa ekspektasi dari suatu konstanata, E(b), adalah sama dengan konstanta itu sendiri untuk variabel random yang manapun.

Ekspektasi matematika E(X) ini juga sering disebut dengan momen pertama dari variabel random X. Secara umum bentuk E(Xⁿ) dengan n ≥ 1 disebut dengan momen ke n dari variabel random X. Dengan menggunakan teorema 5.1, maka momen ke n variabel random X adalah:

E(Xⁿ) =                (kasus kontinu), dan

E(Xⁿ) = f(x)        (kasus diskrit)

Variansi

Telah diketahui bahwa ekspektasi adalah ukuran rata( weight average) dari suatu variabel random adalah variansi. Variansi sering juga disebut dengan ukuran pemencaran (dispersion).

Definisi:

Andaikan X adalah variabel random, maka variasi X adalah:

Var(X) = E[(X-µx)²]

Dimana µx  = E(X).

Dari definisi tentang variansi, dengan menggunakan teorema 5.1, maka variansi dari suatu variabel random X bisa dijabarkan sebagai berikut: untuk kasus diskrit,

Var(X) = ∑(x- µ)² f(x)  ………………………………..(*)

Dan untuk kasus kontinu,

Var(X) = ∫ (x- µ)² f(x) dx  …………………………….(**)

Dari persamaan (*) atau (**) ini bisa diturunkan teorema sebagai berikut:

Teorema 5.3 :

Untuk variabel random X, maka:

Var(X) = E(X²) – [E(X)]²

Contoh:

Distribusi probabilitas dari variabel random X diketahui :

x 0 1 2 3
f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Carilah: Var(X) dan σx

Penyelesaian:

menggunakan teorema 5.3

E(X) =  =

E(X²) == 0² () + 1² () + 2² () + 3² () = = 3

Var(X) = E(X²) – [E(X)]²

= 3 – () ² =

σ x  =  =  =

Teorema 5.4 :

Untuk sembarang konstanta a dan b, berlaku :

Var (aX + b) = a² Var(X)

Berdasarkan teorema 5.4, ini dapat diamati bahwa:

  • Jika a = 1, maka Var (X + b) = Var(X)
  • Jika b = 0, maka Var(aX) = a² Var(X)
  • Jika a = 0, maka Var(b) = 0, ini berarti bahwa variansi dari sembarang konstanta adalah nol (0)

Ketidaksamaan Tchebycheff dan Hukum Lemah Bilangar Besar

Berikut dalah teori Markov yang akan berguna untuk mengembangkan teori ketidaksamaan tchebycheff..

Teorema 5.5 ( ketidaksamaan Markov)

Jika X adalah variabel acak ( dengan nilai- nilai non negatif), maka untuk sembarang

a >0 berlaku:

P(X ≥ a) ≤

Dari ketidaksamaan Markov tersebut, dapat diturunkan ketidaksamaan Tchebycheff berikut ini:

Teorema 5.6:

Jika X adalah variabel acak yang mempunyai mean  dan varian  terhingga,

Maka untuk sembarang k > 0 berlaku :

P( ≥ k ) ≤

Contoh :

Perusahaan karoseri ” Indonesia Jaya ” tiap minggu rata- rata mampu memproduksi 50 buah kendaraan.

  1. Berapa probabilitas bahwa dalam satu minggu tertentu produksinya melebihi 75 kendaraan ?
  2. Jika dalam produksi mingguannya mempunyai varian dari produksinya adalah 25 kendaraan, berapa probabilitas bahwa dalam suatu minggu tertentu akan diproduksi antara 40 sampai 60 kenadaraan ?

Penyelesaian :

  1. menggunakan ketidaksamaan Markov

P(X ≥ 75)

P(X ≥ 75)

P(X ≥ 75)

  1. menggunakan ketidaksamaan Tchebycheff

P( ≥ 10 ) ≤

P( ≥ 10 ) ≤

P( ≥ 10 ) ≤ 0.25

Jadi:

P(40 < X < 60) = P( ≥ 10 )

P(40 < X < 60) ≥ 1- P( ≥ 10 )

≥ 1- 0.25

P(40 < X < 60) ≥ 0.75

Teorema 5.7:

Jika  adalah variabel acak. Variabel acak yang independen

dan mempunyai mean yang terhingga, dan masing- masing

mempunyai varian yang terhingga, Var    (i = 122, 3, ….., n ),

maka untuk sembarang  ε > 0 berlaku:

ε = 0. atau

ε – 1

Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

Salah satu konsep yang penting dalam statistika adalah yang berhubungan dengan harga harapan (mean) adalah momen dari variabel acak.

Definisi: Momen di sekitar titik pangkal atau momen ke r dari variabel acak X, dinotasikan dengan , adalah harga harapan (ekspektasi) dari , secara simbolis:,     untuk kasus diskrit, dan

untuk kasus kontinu.

Dari definisi momen tersebut, bila:

  • untuk r = 0, maka , dan
  • untuk r = 1, maka . Ini berarti momen pertama (momen ke-1) adalah juga mean (ekspektasi) dari X.

Sedangkan momen di sekitar μ dari variabel acak X disebut dengan momen sentral. Dalam hal ini momen sentral didefinisikan dengan:

Definisi:

Momen sentral ke r dari variabel acak X, dinotasikan dengan μ, adalah harga harapan

(ekspektasi) dari (X-μ)r; secara simbolis:

Dari definisi tentang momen sentral tersebut, bila;

  • untuk r = 0, maka
  • untuk r = 1, maka .

Ini berarti bahwa momen sentral pertama (momen sentral ke-1) selalu sama dengan 0 (nol).

  • untuk r = 2, maka . Jelas bahwa momen sentral kedua ini selalu sama dengan varian dari variabel acak X.

Hubungan antara momen ke r dengan momen sentral ke r adalah sebagaimana ditunjukkan dalam teorema berikut ini.

Teorema 5.8:

Keadaan khusus dari teorema 5.8 tersebut, dengan mengingat bahwa:

= 1 dan  = , maka:

= ,

= , dan seterusnya

Contoh:

Variabel acak X mempunyai fungsi

Carilah:

(a). Empat momen yang pertama dari X

(b). Tiga momen sentral yang pertama dari X

Penyelesaian:

(a).

(b). menggunakan teorema 5.8 diperoleh:

= 0

= .

= (2/5)-3(1/2)(2/3)+2(2/3)3=-1/135

Meskipun momen dari suatu variabel acak dapat dihitung berdasarkan definisi yang ada, tetapi teknik berikut ini yang dikenal dengan fungsi pembangkit momen, lebih disarankan untuk digunakan dalam upaya mencari momen dari suatu variabel acak.

Definisi:

Fungsi pembangkit momen X, dinotasikan dengan MX(t), bila ada, adalah merupakan

harga harapan (ekspektasi) dari etX, secara simbolis

MX(t) = E(etX)

Dengan | t |  < t0, dan t0 > 0.

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen (moment generating function) tersebut, momen-momen dari X dapat diperoleh dengan jalan mendeferensialkan MX(t), kemudian mencari nilainya untuk t = 0. Selama menukarkan operator deferensial dan ekspektasi diijinkan, maka:

  • , jelas bahwa untuk t = 0, maka . Ini memberikan arti bahwa turunan pertama dari fungsi pembangkit momen untuk t = 0 adalah sama dengan momen pertama dari X. Selanjutnya:
  • ; sehingga untuk t = 0,  maka . Ini berarti bahwa turunan kedua dari fungsi pembangkit momen untuk t = 0 adalah sama dengan momen kedua dari X. Sehingga secara umum turunan ke-n dari MX(t), yaitu , adalah  untuk n ≥ 1; dan untuk t = 0 diperoleh ; yaitu sama dengan momen ke-n dari variabel acak X.

Dari uaraian tersebut, dapatlah diturunkan teorema sebagai berikut:

Teorema 5.9

Jika X adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit momen MX(t), maka:

Dari teorema 5.9 tersebut dengan mudah bisa dipahami bahwa momen dari variabel acak X bisa dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Sebagai akibatnya, karena momen diketahui, maka momen sentral juga bisa dicari dengan bantuan teorema 5.8. Karenanya berdasarkan teorema 5.9 ini bisa juga dihitung ekspektasi dari varian dari variabel acak X dengan menggunakan fungsi pembangkit momen, yaitu:

, dan , sehingga:

.

Contoh:

Fungsi densitas variabel acak X adalah

Carilah:

(a). Fungsi pembangkit momen dari X

(b). Tiga momen yang pertama dari X

(c). Ekspektasi dan varian dari X

Penyelesaian:

(a). Fungsi pembangkit momen dari X

, dengan | t | < 2

(b). Tiga momen yang pertama dari X:

, sehingga .

, sehingga .

, sehingga .

(c).

Contoh:

Diketahui fungsi probabilitas dari variabel acak Y adalah , untuk y = 1, 2, 3, dan 4. Carilah fungsi pembangkit momen dari Y, serta gunakan hasilnya untuk mencari dua momen yang pertamanya dari Y dan Varian dari Y.

Penyelesaian:

Fungsi pembangkit momen dari Y,

Sehingga momen pertama dan kedua dari X adalah:

, sehingga .

, sehingga .

Jadi

Selanjutnya teorema berikut ini sering berguna untuk menyederhanakan perhitungan kaitannya dengan fungsi pembangkit momen.

Teorema 5.10:

Untuk sembarang konstanta a dan b, berlaku:

(i).

(ii).

(iii).

Contoh:

X adalah variabel acak dari contoh 5.12. Carilah fungsi pembangkit momen dari variabel acak Y = X + 4 !

Penyelesaian:

Dari contoh 5.12, telah diperoleh bahwa , dengan | t | < 2.

Dengan menggunakan teorema 5.10 (i). Diperoleh:

, dengan | t | < 2.

Teorema 5.11:

Jika variabel acak X dan Y independen, dan masing-masing mempunyai fungsi

pembangkit momen Mx(t) dan My(t), maka fungsi pembangkit momen

dari variabelacak Z=X+Y adalah sama dengan produk (hasil kali)

dari fungsipembangkit momen X dengan fungsi  Mx+y(t)=Mx(t)My(t)

Bukti :

Dari teorema 5.10 dan teorema 5.11,diperoleh :

Teorema 5.12Jika variable acak X dan Y independen,dan masing-masing mempunyai fungsi pembangkit momen  dan  ,serta a,b,dan c sembarang konstanta ,maka :

Akibat logis dari teorema 5.12 ini adalah jika ada n variable acak , .,…… yang independen ,,,………. adalah sembarang konstanta, maka :

; atau bisa ditulis sebagai :

Fungsi pembangkit momen ,di samping berguna untuk menghitung momen,ekspektasi, dan varian, ternyata juga bisa digunakan untuk mencari fungsi probabilitas (densitas) dari suatu variabel acak. Disamping itu, bila akan  dicari fungsi probabilitas (densitas) dari suatu variabel acak dari yang mempunyai fungsi yang berhubungan dengan variabel acak yang lain,hal ini bisa dilakukan dengan jalanmencari fungsi pembangkit momen dari variabel acak yang diminta baru kemudian mencari fungsi desitas (probabilitas) dari variabel acak yang diminta dengan fungsi pembangkit momen (perhatikan pembahasan bab 7 tentang fungsi variabel acak ). Teorema 5.13  di bawah (yang diturunkan dari definisi tentang fungsi pembangkit momen ), akan sanngat berguna untuk mencari fungsi densitas (probabilitas) dari suatu variabel acak jika diketahui fungsi pembangkit momennya.

Contoh :

Variabel acak X mempunyai fungsi pembangkit momen

= +  +  + . Carilah fungsi probabilitas dari variabel acak X tersebut!

=

+  +  + .  = +  +  +………

Karena kesamaan tersebut hrus berlaku untuk setiap nilai t,maka setiap suku di ruas kiri harus sama dengan di ruas kanan,dengan denikian :

Untuk X = 1, maka  = 3/18 ; untuk X = 2,maka  = 4/18

Untuk X = 3, maka  = 5/18; untuk X = 4, maka  = 6/18

Jadi fungsi probabilitas dari X adalah f(x) = , untuk x = 1,2,3,dan 4.

Teorema 5.13Jika X adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit momen  Mx(t) terdefinisi dalam I t I < t0, denngan t0>0 maka :* bila  = , variabel acak X mempunyai fungsi densitas f(x), dan

* bila  = ,, variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x).

Ukuran Tendensi sental

Pada awal bab ini telah dibahas secara khusus tentang ekspektasi (mean ).

Ekspektasi ini adalah salah satu jenis ukuran tendensi sental. Jenis ukuran tendensi sental yang lain adalah modus dan median. Disebut ukuran tendensi sental sebab pada umumnya ketiga ukuran tersebut (mean,median, dann median) mempunyai nilai yang hampir sama. Dalam sibab iini akan dibahas khususnya tentang modus dan median.

Untuk variabel acak X dengan fungsi densitas (probabilitas) f(x), maka yang dimaksud denngan modus adla suatu nilai x yang mempunyai probabilitas terbesar, atau nilai x sedemikian hingga f(x) maksimum.

Tetapi dalam suatu variabel acak kadang-kadang nilai x yang mempunyai probabilitas yang terbesar (relatif) ini tidak hanya sat, bisa dua, bisat tiga, atu lebih. Dalamkeadaan demikian distribusi variabel acak X tersebut dikatakan mempunyai bimodal, trimodal,atau multimoda. Di samping itu untuk varisbel acak tertentu modus bisa saja tidak ada ( tidak memiliki modus ), jika memang tidak ditemukan nilai x yang  mempunyai probabilitas yang terbesar.

Sedangkan yang dimaksud dengan median adalah nilai x sseddemikian hingga P(X≤x) = P(X≥x) = ½. Dalam kasus variabel acak kontinyu madian berkorespondensi dengan ordinat yang membagi luas di bawah kurva menjadi dua bagian yang sama,dengan masing-masing luasnya sama dengan ½. Sedangkan dalam kasus variabel acak diskrit median tunggal mungkin saja tidak ada,atau dengan kata lain dalam kasus diskrit dimungkinkan ada banyak median.

Contoh :

Variabel acak X mempunyai fungsi densitas :

Carilah :

(a)    . modus

(b)   . median

(c)    .mean, serta bandingkan  harga mean,median,dan modus tersebut!

Penyelesaian :

(a). Modus diperoleh bilamana f(x) maksimum. Didalam kalkulus telah diketahui bahwa f(x) maksimum diperoleh bilaman turunan pertama sama dengan nol :

f’(x) = =

f’(x) =  4 – 6x = 0

4 – 6x = 0 à  x =

Jadi x =   adalah modus,sebab nilai turunan kedua untuk pada x =  adalah negatif.

(b).Median adalah nilai x = d sedemikian hingga ;

P(x ≤ d) = , untuk 0≤ d ≤1

P(x ≤ d) =

Dari persamaan ini diperoleh nilai median x = d = 0.59 (pendekatan)

(c).E(X) =

Contoh :

Distribusi probabilitas dari variabel acak Y diketahui

Y 2 4 6 8 10 12
Gy) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Carilah modus,median,dan mean dari Y!

Penyelesaian :

  • Modus adalah nilai y sedemikian himngga g(y) maksimum. Tampak bahwa dari distribusi probabilitas Y tersebut tidak ada yang maksimum. Sehingga distribsi ini tidak mempunyai modus.
  • Median adalah nilai y sedemikian hingga P(Y ≤ 7) = . Perhatikan bahwa jika diambil sembarang bilangan dari 6 sampai 8 atau dalaminterval [6,8], dapat menyatakan median; sebab misalnya P(Y ≤ 7) = ,berarti y = 7 adalah median; demikian juga untuk P(Y ≤ 6.5) = , berarti y = 6.5 juga median dan seagainya. Supaya mendapatkan median tunggal,biasanya = 7. Jadi dalam hal ini mediannya adalah y = 7.
  • Sedangkan mean dari Y, yaitu

E(Y) = =. Tampak bahwa dalam distribusi Y ini nilai median sama dengan nilai mean.

Kuantil

Ukuran-ukuran lain yang penting yang berhubungan dengan variabel acak adalah kuantil. Kuantil ini meliputi  tiga macam ukuran, yaitu kuartil,desil, dan persentil.

Dalam kasus variabel acak adalah kontinyu telah diketahui bahwa median adalah nilai yang berkorespondensi dengan ordinat yang membagi luas daerah di bawah kurva menjadi dua bagian yang sama. Sedangkan yang dimaksud dengan kuartil adalah suatu nilai yang berkorespondensi dengan ordinat yang membagi luas di bawah kurva menjadi empat bagian yang sama. Kuantil dinotasikan dengan q. Karenanya dengan pengertian kuartil tersebut adatiga macam kuartil, yaitu kuartil ke satu kuartil ke dua dan kuartil ke tiga .

Kuartil  sering juga ditulis dengan , yang berarti mengingatkan bahwa luas di bawah kurva di sebelah kiri ordinat yang mempunyai absis x =  adalah sama dengan  dari seluruh luas di bawah kurva. Sedangkan kuartil  sering juga  ditulis dengan atau , artinya mengingatkan bahwa luas dibawah kurva di sebelah kiri ordinat yang mempunyai absis x =  adalah sama dengan  dari seluruh luas di bawah kurva. Denngan demikian jelas bahwa q2/4 sama dengan median. Akhirnya  juga sering ditulis dengan , artinya mengingatkan bahwa luas di bawah kurva di sebelah kiri ordinaat yang mempunyai absis x =  adalah sama dengan  dari luas di bawah kurva.

 
   

f(x)

           
   
 
         
 
   

O            q1/4 q2/4 q3/4                                                    X

Gambar 5.2 (ii)

Desil adalah suatu nilai yang berkorespondensi dengan ordinat yang membagi luasdibawah kurva menjadi 10 (sepuluh) bagian yang sama. Dengan demikian ada sembilan desil. Secara umum desil ke i dinotasikan dengan  q1/10 , dengan i = 1,2,3,……..9. sebagai contoh ketiga adalah q3/10, artinya luas dibawah kurva di sebelah kiri ordinat yang mempnyai absis x = q3/10 adalah sama dengan 3/10, dari seluruh luas di bawah kurva.

Persentil adalah nilai yang berkorespondensi dengan ordinat yang membagi luas di bawah kurva menjadi 100 (seratus) bagian yang sama. Dengan demikian ada 99 presentil. Secara umum presentil ke i diotasikan dengan q1/100; dengan i = 1,2,3,…..99. sebagai contoh presentil ke 45 adalah q45/100, artinya luas di bawah kurva di sebelah kiri ordinat yang mempunyai absis x = q45/100 adalah sama dengan 45/100 dari seluruh kurva di bawah kurva.

Bila diamati lebih lanjut, tampak bahwa kuartil kedua, desil kelima, dan persentil kelima puluh adalah sama dengan median. Jadi q2/4 = q5/10 = q50/100 = median. Sedangkan persentil kedua puluh lima dan persentil ketujuh puluh lima, berturut-turut sama dengan kuartil kesatu dan kuartil ketiga; jadi q1/4 = q25/100 dan q3/4 = q75/100. Akhirnya bisa juga diamati bahwa persentil kesepuluh, persentil kedua puluh,……. persentil kesembilan puluh berturut-turut sama dengan desil kesatu, kedua,….. desil kesembilan. Jadi, q1/10 = q10/100, q2/10 = q20/100,…., dan q9/10 = q90/100.

Contoh :

Diketahui fungsi densitas dari variabel acak x adalah :

f(x) =

Carilah :

a)  Desil            kesatu

b)  Kuartil kesatu

c)    Persentil kesembilan puluh

Penyelesaian:

Untuk sembarang nilai a sedemikian hingga 0 < a < 1, maka :

P(X a) =   = 2a – a2. Sehingga :

a). Desil kesatu adalah P(X a) = 1/10. Maka : 2a – a2 = 1/10 , sehingga dapat diperoleh nilai a =0,05 (pendekatan). Jadi, q1/10 = 0,05.

b). Kuartil kesatu adalah P(X a) = ¼. Maka : 2a – a2 = 1/4, sehingga dapat diperoleh nilai a = 0,13 (pendekatan). Jadi, q1/4 = 0,13.

c). Persentil kesembilan puluh adalah P(X a) = 90/100. Maka : 2a – a2 = 90/100, sehingga dapat diperoleh nilai a = 0,68. Jadi, q90/100 = 0,68.

Kemiringan dan Kurtosis

Kemiringan (skewnees) adalah derajat asimetri dari suatu variabel acak. Dari sembarang distribusi dapat dikelompokkan menjadi tiga macam, yaitu : pertama,distribusi yang mempunyai kemiringan sama dengan 0 (nol). Distribusi normal adalah salah satu contoh distribusi simetri. Kedua, distribusi yang mempunyai ekor kanan, distri semacam ini mempunyai kemiringan positif. Ketiga, distribusi yang mempunyai ekor kiri, distribusi semacam ini mempunyai kemiringan negatif.
f(x)

 
   
 
   

O                                                                          x

(i). Distribusi simetri (kemiringan nol)

f(x)                                                                  f(x)

O                                       x                   O                                                 x

(ii). Distribusi ekor kanan                               (iii). Distribusi ekor kiri

(Kemiringan positif)                                            (kemiringan negatif)

Koefisien kemiringan atau kemiringan biasanya dinotasikan dengan3.

 
   

Definisi :

Kemiringan dari suatu variabel acak X didefinisikan dengan :

E(X )3 3

3 =                     =

3 3

Derajat kelancipan`suatu distribusi disebut kurtosis.

Suatu grafik yang mempunyai puncak yang lebih lancip dari distribusi simetri (normal) disebut leptokurtis. Sedangkan grafik yang mempunyai puncak yang lebih tumpul dari distribusi simetri (normal) disebut platikurtis. Distribusi simetri (normal) itu sendiri disebut mesokurtis.

f(x)

 
   

O                                                               x

(i). Mesokurtis

 
   

f(x)                                                          f(x)

 
   
       
       

O                                                              O

(ii). Leptokurtis                                                 (iii). Platikurtis

Dari grafik diatas, jelas bahwa leptokurtis adalah suatu distribusi yang mempunyai nilai-nilai terkonsentrasi disekitar mean, sedangkan platikurtis adalah distribusi yang mempunyai nilai-nilai tersebar jauh dari mean. Koefisien kurtosis dinotasikan 4.

Definisi:

Kurtosis dari variabel acak X didefinisikan dengan :

E(X )4 4

4 =                    =

4 4

Dari rumus tersebut, akan dapat ditunjukkan bahwa distribusi normal mempunyai kurtosis sama dengan 3. Kemudian leptokurtis akan mempunyai kurtosis lebih besar dari 3, dan platikurtis mempunyai kurtosis kurang dari 3, serta kemiringan dan kurtosis tidak berdimensi.

Contoh :

Fungsi densitas dari variabel acak X, f(x) =

Carilah kemiringan dan kurtosis dari X !

Jawab :

Mx(t) = E(etX) =  (2e-2x) dx = 2  dx

2

(t) =                       , sehingga   =  (0) = 2/4 = 1/2

4 – 4t + t2

8 – 4t

(t) =                      , sehingga  =  (0) = 8/16 = ½

(4                            – 4t + t2)

4(4  4t + t2) + 16(16 – 32t + 24t2 – 8t3 + t4)

(t) =                                                                               , sehingga

(4 – 4t + t2)2

= (0) = 3/4.

Dengan cara yang sama,  = (0) = 3/2

Sehingga E(X) = ½ dan Var (X) = 1/4,

Kemudian :

=  - 3   + 2 = (3/4) – 3 (1/2)(1/2) + 2 (1/2)3 = 1/4,

=  - 4   + 6   - 3

= (3/2) – 4(3/4)(1/2) + 6(1/2)(1/2)2 – 3(1/2)4 = 9/16

=  = ½

Jadi :

Kemiringan:

Kurtosis:

About these ads
Komentar
  1. Meris Dwi Prasetyo mengatakan:

    sangat lengkap pembahasanya gan,..

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s